简单几何体的外接球与内切球问题.docx

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1、简单几何体的外接球与内切球问题定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。2、正多面体的内切球和外接球的球心重合。3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合。4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理。5、体积分割是求内切球半径的通用做法。一、直棱柱的外接球1、长方体的外接球：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为a.b,c则体对

2、角线长为1=ya2+h2+c2,出几何体的外接球直径为2R为体对角线长为1即R=2、正方体的外接球：正方体的棱长为a,则正方体的体对角线为儡，其外接球的直径R2为3a3、其它直棱柱的外接球：方法：找出直棱柱的外接圆柱，圆柱的外接球就是所求直棱柱的外接球。例1、一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98,底面周长为3,则这个球的体积为例2、已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4,体积为16,则这个球的表面积是A.16B.2QC.247VD.32二、棱锥的外接球1、 正棱锥的外接球方法：球心在正棱锥的高线上，根据球心到各个顶点的距

3、离是球半径，列出关于半径的方程。例3、正四棱锥SABCD-的底面边长和各侧棱长都为后，点S、A、B、C、D都在同一球面上，则此球的体积为.例4、若正四面体的棱长为4,则正四面体的外接球的表面积为例6、一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是：()3333(A)(B)(C)(D)122、 补体方法的应用(1)、正四面体(2)、三条侧棱两两垂直的三棱锥(3)、四个面均为直角三角形的三棱锥例7、如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为62Cm2、42cm2和32cm2,那么它的外接球的体积是。例9、在三棱锥A_BCD中，AB_1平面

4、BCD,CD1BC,AB=3,BC=4.CD=5,则三棱锥BCDA-外接球的表面积。例10、如图为一个几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为()A.4B.87C.12D.16%三、 圆柱、圆锥的外接球旋转体的外接球，可以通过研究轴截面求球的半径。例11、圆柱的底面半径为4,母线为8,求该圆柱的外接球的半径。例12、圆锥的底面半径为2,母线长为4,求该圆锥的外接球的半径。四、正方体的内切球设正方体的棱长为a,求(1)内切球半径；(2)与棱相切的球半径。(1)截面图为正方形EFGH的内切圆，得R=曲(2)与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，作截面图，圆。为正方形EF

5、GH的外接圆，易得R=当a。四、 棱锥的内切球（分割法）将内切球的球心与棱锥的各个顶点连线，将棱锥分割成以原棱锥的面为底面，内切球的半径为高的小棱锥，根据分割前后的体积相等，列出关于半径R的方程。若棱锥的体积为V,表面积为S,则内切球的半径为R=*例17、正四棱锥S-ABCD,底面边长为2,侧棱长为3,则内切球的半径是多少？例18三棱锥P-ABC中，底面4ABCD是边长为2的正三角形，）六、PAj1底面ABC,且PA=2,则此三棱锥内切球的半径为（圆柱（轴截面为正方形）、圆锥的内切球（截面法）例19、圆锥的高为4,底面半径为2,求该圆锥内切球与外接球的半径比。例20、圆柱的底面直径和高都是6,

6、求该圆柱内切球的半径。I、f正三棱柱恰好有T内切球（球与三棱柱的两/含、个底面和三个侧面都相切和T外接球锲对三棱柱的6个顶点）,则此内切球与外接球CN表面积之比为。2、如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥EJj二2P-ABCDEFt则此正六棱锥的侧面积是八F3、楼长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的T面如图，则图申三角形GE四面体的截面）的面积是.4、已知三棱锥、-八明的所有顶点都在球”的球面上必”是边长为:的正三角形SC为球的直径,且SC2;则此棱锥的体积为（）正B.3C.走D.立66325、已知点P,A,B,C,D是球O表面上的点,PA1平面ABcD,四边形ABCD

7、是边长为20正方舷若PA=2C,则4OAB的面积为.一个正四面体的内切球，外接球，棱切球的半径如何计算.一已知正四面体X-38的棱长为,求它的外接球半径、内切球半径、棱切球半径解：由正四面体的对称性与球的对称性知球心在正四面体的高上.,&AOCG中，OCOGCG：即箝=（理一K）+。，解得K=牛一内切球半径=0G=4GT。等一手噜棱切球半径为OE=JEG2+CG=IJmW=与.,一个正四面体的内切球，外接球，棱切球的半径如何计算Y已知正四面体BCO的棱长为,求它的外接球半径、内切球半径、棱切球半径解：由正四面体的对称性与球的对称性知球心在正四面体的高上.设外接球半径为K，如图（。为外接球球心，G为5CZ）的重心）,KrAoCG中，OC?=OG2+CGJ即Ri=（等一正产十:，解得K=等内切球半径r=0G=AG-A0棱切球半径为OE=Jeg2+OG2=XrAoCG中，OC2=OG2+CG?,即R?=（冬一出+解得K=净.”内切球半径r=OG=AG-O棱切球半径为OE=EG2+OG2