数列复习基本知识点及经典结论总结+练习题.docx

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1、数列复习基本知识点1、数列的概念：数列是按一定次序排成的一列数。数列中的每一个数都叫做这个数列的项。数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集1,2,3,，n）的特殊函数，如果数列的第n项。与n之间的关系可以用一个公式来表示，则这个公式就叫做这个数列的通项公式“数列的通项公式也就是相应函数的解析式。如（1）已知q=5N*）,则在数列q的最大项为_（答：）；（2）数列/的通项为勺=一竺一，其中。涉均+15625bn+为正数，则。与。用的大小关系为一（答：4V（3）已知数列4中，勺=+n,且an是递增数列，求实数的取值范围（答：4一3）；（4）一给定函数y=f（x）的图象在下列图中，并且对任意

2、q（0,1）,由关系式。向=/（2）得到的数列qJ满足。向5N*）,则该函数的图象是O（答：A）ABCD递推关系式：已知数列的第一项（或前几项），且任何一项以与它的前一项,一（前n项）间的关系可以用一个式子来表示，则这个式子就叫数列的递推关系式。数列的前n项和：sn=a,+a2a+aS,5=1）已知S求的方法（只有一种）：即利用公式a=注意：一定不要忘记对n取值的讨论！最后，还一1，（心2）应检验当n=1的情况是否符合当n2的关系式，从而决定能否将其合并。2.等差数列的有关概念：1、等差数列的定义：即“-“_=4（2*,且心2）.（或许+-以=4（%*）.（1）等差数列的判断方法：定义法：即+

3、小=或常数）。j为等差数列。中项法：2att+=an-an+2j为等差数列。通项公式法：（a,b为常数）oaj为等差数列。前n项和公式法：Sf=An2Bn（A,B为常数）O1J为等差数列。如设仅“是等差数列，求证：以bF+-+%九N*为通项公式的数列为等差数列。(2)等差数列的通项：an=ai+(/?-)dWc=am+(-m)do公式变形为：即=M+6.其中a=d,b=a-d,如等差数列J中，/o=3O,/=50,则通项=(答：2+10)；(2)首项为-24的等差数列,Q从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是(答：-6,N*)(4)等差中项：若a,Ab成等差数列，则A叫做。与b的等差中项，

4、且A=丝2。23.等差数列的性质：(I)当公差dw时，等差数列的通项公式为=4+(-1)d=加+q-d是关于的一次函数，且斜率为公差d；前和SzI=+妁Fd=n2+(ay-gn是关于的二次函数且常数项为0.(2)若公差d0,则为递增等差数列，若公差d0,则为递减等差数列，若公差d=0,则为常数列。(3)对称性：若卜是有穷数列，则与首末两项等距离的两项之和都等于首末两项之和.当加+=+夕时,则有am+a11=ap+aq,特别地，当m+n=2p时，则有am+a11=2ap.P(1)等差数列an中，S.=18,+%t+412=3,S3=1,则=一(答：27)；(2)在等差数列q中，io0,且卬j,S

5、”是其前项和，则A、SpS2SIo都小于0,SS2都大于0B、SpS2-S9都小于0,S20,S21-都大于0C、S,SzSs都小于0,S6,S7-都大于0D、SpS2-S2.都小于0,S2,S22都大于0(答：B)(4)项数成等差,则相应的项也成等差数列.即4攵,“八2卅伏，*N)成等差.若凡、2是等差数列，则kan.kan+pbn)“、是非零常数)、*(PMM)S“同“一53-52也成等差数列,而%成等比数列；若“是等比数列，且见0,贝UIgqJ是等差数列.如等差数列的前项和为25,前2项和为100,则它的前3和为。(答：225)(5)在等差数列/中，当项数为偶数2时，s=3+a+i)；S

6、偶-S奇=d；-=-.项数为奇数2一1时，S2_=（2T）4；S偶-5奇=-0；=o如（1）在等差数列中，Sn=22,则S奇4=（答：2）；（2）项数为奇数的等差数列4中，奇数项和为80,偶数项和为75,求此数列的中间项与项数（答：5；31）.（6）单调性：设d为等差数列的公差，则d0=即是递增数列；d0o斯是递减数列；d=0=即是常数数列若等差数列叫、电的前和分别为4、B.,且今=/5）,则富=穿三瞿=科=/（2-1）.如Bn（21）b1jD2n-I设%与是两个等差数列，它们的前项和分别为S“和,，若M1=网1，那么幺=（答：Th4-3bn6/22）8,7-7（8）8、已知z成等差数列，求1

7、的最值问题，若0,d0且满足卜心,则S最大；11o若0且满足眄，则S”最小.10如（1）等差数列中，4=25,S9=S17,问此数列前多少项和最大？并求此最大值。（答：前13项和最大,最大值为169）；（2）若%是等差数列，首项40,生003+出期0，2003,20040成立的最大正整数是（答：4006）4.等比数列的有关概念：如果数列匕J从第二项起每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫等比数列的公比。即卫=q（N*,=2）（或为1=4SCN）an-（D等比数列的判断方法：定义法也=q（g为常数），其中qw0,/H0或4anan-（12）o如（1）一个等比数

8、列%共有2+1项，奇数项之积为100,偶数项之积为120,则勺+1为一（答：-）；6（2）数列4中，S=4j+152q=1,若2=4+-2。，求证：数列2是等比数列。（2）等比数列的通项：凡=4Z或勺=,MiC如设等比数列4中，01+art=66,2art_1=128,前项和SZf=I26,求和公比夕.（答：=6,q=g或2）（3）等比数列的前和：当g=1时，S1叫；当g1时，S=一0）二%一如（1）等比数列中,-q-qq=2,S99=77,求知+R+。99（答：44）特别提醒：等比数列前项和公式有两种形式，为此在求等比数列前项和时，首先要判断公比9是否为1,再由4的情况选择求和公式的形式，当

9、不能判断公比夕是否为1时，要对q分q=1和gw1两种情形讨论求解。（4）等比中项：如果a、G、b三个数成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，即G=疝提醒：不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个J茄。如已知两个正数4,。3工。）的等差中项为A,等比中项为B,则A与B的大小关系为（答：AB）5.等比数列的性质：（1）对称性：若”是有穷数列，则与首末两项等距离的两项之积都等于首末两项之积.即当2+=p+q时，则有am.an=ap,aq,特别地，当加+x=2p时，则有.如（1）在等比数列“中，3+=124,4a7=-512,公比q是整数，则卬0=一（答：512）；（2）各项均

10、为正数的等比数列/中，若%=9,则Iog3a+Iog3a2+Iog3aw=（答：10）。（2）若是等比数列，则|J、%+w（p,qN）、履“成等比数列；若,、么成等比数列，则凡久、务成等比数列；若4是等比数列,且公比4T,则数列5,52“一5,53“一52”，也是等比数列。当夕=T,且为偶数时，数列5,52“-50,53“一52”，一是常数数列（），它不是等比数列.若“是等比数列，且各项均为正数，则1og4为成等差数列。如（D已知。0且设数列优满足1og.%=1+k五5N*）,且x1+x2+X100=IOO,则NO1+02+X200=.（答：100。H）：（2）在等比数列%中，S”为其前n项和

11、，若53（）=135（）,50+530=140,则S2。的值为（答：40）（3）单调性：若0,q1,或40,0q1贝JqJ为递增数列；若q1,或q0,0q1则4为递减数列；若q2)C如已知。”的前项和满足1og2(S+1)=+1,求”(答:3/二12)；数列。满足+-Ci2+-an=2+5求”(答:削,5=1)已知6,。=/()求4,用作商法：/()()、。如数列凡中,=1,对所有的2都961有。田2。3。=，则的+%=(答：)若4+1-4=/5)求用累加法：=(-4)+3T一。”-2)+(。2一4)+ai(2)O如己知数列4满足4=1,an-an_,=-=-=(n2),则an=(答：?+1+na,1=-Vn+1-/2+1)已知411=5)求凡，用累乘法：“=2.4口.生q(2)。如己知数列凡中，=2,前项anan-an-24和St1，若Sn=n2an，求明己知递推关系求用构造法（构造等差、等比数列）。特别地，（1）形如,二3小+匕、4=kai+b“（k,b为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为2的等比数列后，再求乙。如己知4=1,q=30,+2,求%（答：,j=23n-,-1）;己知4=1,4=