整数和多项式性质同异比较.docx

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1、学校代码：学号：合/孝茂HefeiUniversity毕业论文（设计）BACHE1ORDISSERTATION论文题目：整数与多项式性质的异同比较_学位类别：理学学科专业：信息与计算科学作者姓名：曾钧鹏导师姓名：余海峰完成时间：整数与多项式性质的异同比较摘要：在学习数学的时接触比较多的是数和多项式，今天我们通过对整数与多项式性质的比较来研究它们有哪些相似之处与不同之处，进而更好深入学习整数与多项式。整数理论与多项式理论都是代数的非常基本的研究对象，二者在性质上有着很多相同之处。其概念、结果与方法，是近世代数中抽象概念的非常基本的模型和源泉。本课题尝试对二者的性质异同做一研究和归纳。具体任务为首

2、先对整数与多项式的各种性质进行归纳，其次讨论它们的相似于不同之处，最后从代数观点来分析解释异同原因。首先，本论文对整数和多项式的多项式各自的性质作了一个归纳，从它们的定义出发，再到它们的一些具体性质，包括整数和多项式的运算，整除性等一些性质。其次我们对整数和多项式的性质进行了一些比较，包括运算律，整除性等一些性质。在本文的最后我们从环和欧氏环的概念上对整数和多项式性质类同的原因做了一些简单的分析。通过的对整数与多项式的性质的归纳总结，进而让我们更深入了解整数与多项式的性质。然后通过代数观点上进行分析他们性质的异同，更加深入了解各个知识直接的关系与区别，能够更清楚的对整数与多项式进行认知。关键词

3、：整数多项式类同差异性质ThesimiIaranddifferencebetweenintegerandpo1ynomia1Abstract：InIearningmathematicsismorecontactnumberandpo1ynomia1,andtodaywebycomparingwithpo1ynomia1integernaturetostudywhatarethesimiIaritiesanddifferencesbetweenthem,thusbetterstudywithpo1ynomia1integer.Integertheoryandthetheoryofpo1ynomi

4、a1aIgebraisverybasicresearchobject,whichhasa1otincommoninnature.Theconcept,theresu1tsandmethods,isabstractconceptinmodernaIgebramodeIandthesourceoftheverybasic.ThistopicattemptstodoaresearchonboththenatureofthesimiIaritiesanddifferencesandinduction.Specifictasksforthefirstrsummarizedthepo1ynomia1for

5、integersandthevariousproperties,second1ydiscussthemsimiIartothedifference,fina1Iyfromthea1gebraicpointofviewtoana1ysisaccountforthesimiIaritiesanddifferences.FirstofaII,thisthesisforintegersandthenatureofeachofthepo1ynomia1ofapoIynomiaImadeaninductive,fromtheirdefinition,totheirspecificproperties,in

6、c1udingtheintegerandthepoIynomiaIarithmetic,divisib1eandsomeproperties.SecondIyweforintegersandthepropertiesofthepoIynomiaIarecompared,andsomeinc1udeoperationIaws,divisib1eandsomeproperties.Attheendofthisartic1e,wefromtheringandtheEucIideanringontheconceptofthecauseoftheintegerpoIynomiaIandpropertie

7、ssimiIartodosomesimp1eana1ysis.Throughthesum-upoftheintegerandthenatureofthepo1ynomia1,then1etusmoredeep1yunderstandthenatureoftheintegerandpo1ynomia1s.ThenanaIyzetheirsimiIaritiesanddifferencesbetweenthenatureofthea1gebraview,amorein-depthknow1edgeindirectre1ationshiptothevariousknow1edgeanddiffere

8、nces,canmorec1ear1ytotheintegerpoIynomiaIwithcognitive.Keywords：integerpoiynomiaIsimiIardifferencenature第一章整数的概念及其性质5第一节整数及其运算51.1 整数的定义51.2 整数的运算6第二节整数的整除性72.1 整数的带余除法72.2 整数的整除性7第三节最大公约数与最小公倍数83.1 最大公约数83.2 最小公倍数10第四节算术基本定理101.4 素数及其性质101.5 算术基本定理10第二章.多项式的概念及其性质11第一节数域11第二节一元多项式112.1 一元多项式的定义112.

9、2 多项式的相等112.3 多项式的运算12第三节多项式的整除性123.1 带余除法123.2 多项式的整除12第五节多项式的因式分解定理14第三章：整数与多项式的性质的比较15第一节：整数和多项式运算性质的比较15第二节：整数和多项式的互素的比较16第四节多项式与整数的整除性比较164.1整除的概念164.2最大公因式与最大公约数174.3最小公倍式与最小公倍数18第四章：整数和多项式性质类同的分析19第一节：欧氏环的定义19第二节整数环和多项式环都是欧氏环192.1 整数环是欧氏环192.2 多项式环是欧氏环19第三节性质类同分析19结束语20参考文献：21致谢22第一章整数的概念及其性质

10、第一节整数及其运算1.1 整数的定义由于我们现在研究的整数是在整数环上来研究的，下面我们首先来对环的概念给大家进行一下简单的介绍。1.1.1 环的相关概念在正式表述环的定义时，我们要用到交换群的概念.这里先就交换群作一点补充说明.定义1.1设(GX)是一个交换群.我们定义G上的除法如下：=abi,Va,ZjG.b显而易见，对于任意的a,b,cwG,我们有3=cu=be.b因此我们称除法是乘法的逆运算.如果将一个交换群的代数运算叫做加法，并记作“+”，那么习惯上要对术语和记号作相应调整：设(G,)是一个交换群.我们定义G上的减法如下：a-b=a+(-b)Va,8G9显而易见，对于任意的a,b,c

11、eG,我们有a-b=cc+b=a因此我们称减法是加法的逆运算.定义1.2设R是一个非空集合，加法和乘法“”是R上的两个代数运算.若”+”和“满足条件：(I)(R,+)是一个交换群；(2)“”适合结合律;(3)对+”适合分配津即a(b+c)=(ab)+(ac)tS+c)=S)+(c),PCIhCeR、则称(尺+,)是一个环；不致混淆时,简称R是一个环.当(R,+,)是一个环时，我们就称R关于“+”和“”构成一个环；群(R,+)称为环R的加群，其零元又称为环R的零元,不致混淆时记作O。当O是环R的零元时,我们当然有Xo=O,VnZ;特别地,我们有OXo=O,其中第一个0表示整数零,后两个0表示环A

12、的零元。1.1.2 整环的概念整环是抽象代数中最基本的概念之一。一个环是一个集合A以及它上面的两种运算，分别称为“加法”(+)和“乘法”()，满足以下条件：1、A关于加法成为一个Abe1群(其零元素记作0);2、乘法满足结合律：(而)c=0(bc)；3、乘法对加法满足分配律：a(b+c)=ab+bc,?&+b0=ac+bc;如果环A还满足以下乘法交换律，则称为“交换环”：4、乘法交换律：CIb=baQ如果交换环A还满足以下两条件，就称为“整环”：5、A中存在非零的乘法单位元，即存在A中的一个元素，记作1,满足1不等于0,且对任意有：a=a=a6、出?=0=0或8=0。1.1.3 整数的概念定义

13、13整数序列，-2,7,0,1,2,中的数称为整数.整数的全体构成整数集，整数对其上的加法和乘法构成一个环，记作Z(现代通常写成空心字母Z).1.2整数的运算作为一个环我们可以定义其上运算，主要包括整数的加、减、乘等。下面我们归纳了整数的加法和乘法的一些运算律。1 .加法交换律：a+b=b+a;2 .加法结合律：(+6)+c=+e+c);3 .乘法交换律:a*b=b*a;4 .乘法结合律:（4*b）*c=*（A*C）;5 .乘法对加法的结合律：*（力+c）=a*Z?+a*c.第二节整数的整除性我们再研究整数的整除性之前，我们要研究整数的带余除法，因为整除的概念是在带余除法的基础上研究的，那么我

14、们首先来介绍下整数的带余除法。2.1整数的带余除法定义14设为整数，b0,则存在整数q和小使得。=/+-,其中0A,并且q和由上述条件唯一确定；整数夕被称为。被除得的（不完全）商，数，称为。被除得的余数。注意：共有8种可能的取值：0,1,b-.若=0,即为。被整除的情形；易知，带余除法中的商实际上为（不超过蓝的最大整数），而带余除法的核心是关于余数厂的不等式：0r）（6+产2y+.+孙-2+尸）；若乃是正奇数，则+（在上式中用一）,代丁）2.2整数的整除性定义1.5设,是给定的数，b0,若存在整数c,使得。=松，则称8整除明记作回明并称方是。的一个约数（因子），称。是方的一个倍数，如果不存在上述c,则称b不能整除。记作bIao由整除的定义，容易推出以下性质：定理1.1若。Ic且c%则b（传递性质）;定理1.2若切。且c,则b（c）即为某一整数倍数的整数之集关于加、减运算封闭。若反复运用这一性质，易知切。及则对于任意的整数#有b|（招）。更一般，若卬,都是的倍数，则b（+%+。）。或着白b,则其中/=IqZ,i=1,2,，；定理1.3若。|。，则或者。=0,或者4M,因此若力|。且Z?,则=Z?;定理1.4如果在等式4中取去某一项外,其余各项均为。的倍数,则这一项也是。的i=k=倍数；定理1.5个连续整数中，有