03 全等三角形+范朝晖.docx

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1、3全等三角形能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.其中互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角.实现重合离不开运动，完全重合是运动的结果.至于运动的过程，则有不同的方式.因此全等三角形的图形归纳起来有以下几种典型形式.(1)平移全等型，如图3-1.I1图3-1(2)对称全等型，如图3-2.1图:(3)旋转全等型，如图3-3.A(4)以上类型的复合型，如图3-4.二NM旨3-211图3-3图3-4全等三角形的对应边相等，对应角相等，三角形中各种对应线段也相等.寻找对应边和对应角，常用到以下方法：（1）全等三角形对应角所对的便是对应边，两个对应角所夹的便是对应边

2、.（2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角.（3）有公共边的，公共边常是对应边.（4）有公共角的，公共角常是对应角.（5）有对顶角的，对顶角常是对应角.（6）两个全等的不等边三角形中一对最长边（或最大角）是对应边（或对应角），一对最短边（或最小角）是对应边（或对应角）.要想正确表示两个三角形全等，找出对应元素是关键.边角边定理（SAS）有两条边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.角边角定理（ASA）有两个角和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.推论有两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.边边边定理（SSS）三边对应相等的两个三角形全等.注三角形的三边确定

3、了，那么它的形状、大小就确定了.三角形的这个性质，就叫做三角形的稳定性.由于直角三角形的特殊性，直角三角形全等的判定具有特殊的方法.从理论上讲，不论是“边角边”、“角边角”、“边边边”，还是“角角边”都适用于直角三角形全等的判定.但直角三角形有如下特殊的判定定理：斜边、直角边定理（1）斜边和直角边对应相等的两个直角三角形全等.由上可知，如果两个直角三角形中有两条边（不论是两条直角边还是斜边和一条直角边）对应相等，就足以判定它们全等.所以，对于直角三角形的全等判定，“边边边”是没有使用价值的.因此，在两个直角三角形中，如果出了直角之外，还有两个元素（不都是角）对应相等，那么，这两个直角三角形全等

4、.例1设P为等腰直角三角形AC“的斜边上任意一点，PE垂直AC于点E,P垂直BC于点F,PG垂直E尸于点G,延长GP并在延长线上取一点使得PD=PC,试证:BC1BD,且BC=BD.（1997年全国联赛题）图3-5证明如图35,因NEPG=ZEFP=NCPF,贝IJZDPB=NAPG=45EPG=45+/CPF=BPF+NCPF=ZBPC.又PC=PD,PB为公共边,贝IJPDBPCB.从而BC=BD,且/PBD=4BP=45。,因此NCBD=90。,故BC1BD.例2已知:BD、CE是4A5C的高,点尸在8。的延长线上,HP=AC,点。在CE上,CQ=AB,求证：（I）AP=AQ;（2）AP

5、_1AQ.（1996年河南省竞赛题）图3-6证明如图3-6,设CE交出）于尸，（1）由BDCA,CEA,AB,知NBEF=9。=NCDF.而NB尸E=NC产O.故NABP=NQc4.故NABP=NQCA.由已知，WAB=QC,BP=CA,从而BPC.既有AP=AQ.（2）由（1）可得NAQC=/PAB,而NAQC=ZQEA+ZQAE=90+ZQAEtPAB=Z.PAQ+AQAE,从而可得/%。=90。即AP1AQ.例3在正月3C、内部有一点。，已知/AOB=113。，NBoC=I23。.若一个三角形的边长等于OA、OB、OC.试求：这个三角形的各角度数.（第33届莫斯科奥林匹克题）图3-7解如

6、图3-7,以A。为一边做等边AAOO,连BO.由AD=AO,AS=AC,ZDAB=60o-ZbAO=ZOAC,则有AAOB丝ZA0C,所以DB=OCtNAOB=/AOC=124又OD=OA,则。&8的三边的长分别等于0A、OB、OC,而Zdob=ZAOH-ZAOD=13o-60o=53o,ZOD=ZA1）-ZDO=124o-60o=64o,ZOBD=180-53o-64o=63o.故所求三角形内角分别为53。、64。、63。.例4如图3-8,在aABC中，A=AC,D是底边HC上一点，E是线段AD上一点，且NBEO=2ZCEd=ZBAC,求证：IiD=ICD.（1992年全国联赛题）图3-8证

7、明：作NB的平分线交8C于尸，又过A作E尸交5笈于G,交Be于“，则知ZEAG=ZDEF=ZBEf=ZAGE=-ZBAC,2从而GE=AE.又NAGE=!NBEO=NCEd,则2ZAGb=ZCEA.由ABE+ABAE=/BEA/BAC=CAE+/BAE.有NABG=/CAE.注意到AR=CA,故有BGCE.从而，BG=AE,AG=CE.于是BG=GE.又由A笈尸，有1BH=HF,GH=-EF.2cAHHD且=.EFFD而NCED=NFED,从而CD_EC_AG_AH-GH_AH_HD1FD=EF=EF=-EF-=EF2=FD2即CD=HD-FD=HF-FD=-BF+-FD=-BD,22222故

8、BD=2CD.例5在aAAC中，NBAC=80。，ZBC=60o,D为三角形内一点，且/043=10。，NOHA=20。.求NACo的度数.图3-9解如图3-9,延长BD交AC于,则ZAEH=SOo=ZBAEfAB=BE.在BC上截取BF=BA,连4尸，则户为等边三角形.在AC上截取AG=AH连BG、DG、EF.FG.由边角边定理：知等腰AAFGg等腰在ABE户中，ISBE=BFtNEAF=40,则NH长尸二70。，易得N/笈G=300=N4DE.由角边角定理，知尸EGgAAOE.于是EG=DE.注意至IJNEBC=40。=NEC故EC=EB.又由角边角定理，知&(70AEGH,从而NACD=

9、NEBG.在aABG中，EAB=AGZBAG=SOo,则NABG=50,从而NEBG=300.故N4CO=30.例6在月BC中，ZBC=5.250,Ao是N54C的平分线，过A作OA的垂线交直线BC于点M.若BM=AA+AC,试求/4BC和NAC3的度数.(1991年北京市竞赛题)解：由于点M在直线5C上，因而应分两种情况讨论计算：(1)如图3-10,过A作AO的垂线交BC延长线于点M,延长BA到G,使NAMG=NAMC由题设AO平分NBAC知NeAM=NC1AM,注意到AM为公共边，由角边角定理得AC.于是，有ACI=HC.又由BM=BA+AC,知Ae1=8M.从而/AGM=/例。.在ABC

10、iM中，Z=180o-2ZAC=180o-2ZC=180o-2（Nb+5.25。）=1802/3-10.50,因此，NAHC=56.5,ZACB=180o-5.25o-56.5o=118.25o.(2)如图311,过A作AD的垂线交CB延长线于点延长BA到G，使NAMC1=NAMC由题设4。平分N刚。知NCAM=NCIAM,注意到AM为公共边,则且AACiM,即有NAeW=NAGM且ACi=AC.又由BM=BA+AC,知HCi=BM.从而NACIM=NBMG.于是，在aMCG中，3NACM+2N4CC=3N4CM+NBAC=I80。，即有NACM=1(ISOo-ZBAC)=58.25.3即ZA

11、CB=58.250,NABOI80。-58.250-5.250=116.5.例7求证:如果两个三角形有两条边和第三条边上的中线对应相等,那么这两个三角形全等.已知：如图3-12,在A43C和4A0C中,AD.4。分别是边3C、BC上的中线，AB=A,B,fAo4C,AD=A,D,.求证：ZABC咨ZiATTC.图3-12证明：分别延长40、AO至E、,使OE=AO,IE,=,iy.连结BE、BE则AE=2AD,AEy=2AD因为AD=WD所以AE=AE.在aADC和中，由4D=DE,NADC=NEDB,BD=DC,知AADgAEDB,从WAC=BEfZE=ZCAD.同理，A,D,CfE,O8,

12、有AC=BE,NE=NCA,IY.因为AC=TVC,所以BE=BE.iF.ABEA,BfE,中，由AB=4夕，BE=BE：AE=A,Ef,所以，有4ABEA,BE,.从而NE=NE,NBAE=NBAfE,所以NCAD=NE=NE=/CA,O,所以NBAC=NBAfC.在4A5C和4BC中，AB=AfB,ZBAC=ZBAfC,AC=A,C,故AC,BC.例8在aABC中，。为AB的中点，分别延长CA、CR到点E、尸，使DE=DE过E、户分别作直线CA、CA的垂线，相较于点P,设线段。4、PB的中点分别为“、N.求证：（1）AdemwafdN;（2）NPAE=NPBf.（2013年全国联赛题）图3

13、-13证明（D如图3B,根据题设可知，DMj1BN,DNJ1AM.所以NAMO=NAPB=ZBND.因为M、N分别是直角三角形aAEPZXB尸P的斜边的中点;，所以EM=AM=DN,FN=BN=DM.又已知。弥=O尸，从而DEMAFDN.（2）由（1）可知NEMD=NFND,则由NAMo=NONA可得NAME=NBNF.而44MEZ8N户均为等腰三角形，所以NHE=NPBF.例9试证明：有两条边及一个角的角平分线对应相等的两个三角形全等.证明设C和距。的三边之长分别记为4、B、C和/V、IiC,三条角平分线长分别记为八、1和t、b,tf,半周长分别记为P和P.当有两条边及它们的夹角的平分线对应

14、相等时，不妨设5=用，C=C,1=T.利用角的平分线性质计算得注意到斯特瓦尔特定理的特殊情形，即式（2-12）,可得到2/ta=7JbCP（P-a）b+cY一b+c由B=方，C=C,ta=ta,有EMi)WwCR於优)即有P(P-A)=P,(P,-A,),亦即有(B+C+A)(B+C-4)=(B+C,)(BC-4,)从而得A=A所以AABCgZiA3C.当有两条边及其中一边的对角的平分线对应相等时，不妨设A=AB=B,t=ta,.此时，有21b+c+ab+c-a21,b+c-ab+c-aJbc.=AbcZ?+cV22b+c22两边平方，得c(.+c)2-g2c(7+c)2-c.2(Cf.(Z7+C)2即有(c-c,)+2-7-T=O)(Z7+c,)2(b+c)2_即有)+争需吟(Z?+c)(HC)所以(c-c)(b+c)2(b+c)2+。2必=O(派)而(b+c)2(Z?+c)2(Zj+c)2Z?2a2Z?2,故由(X)可知CY=0,BPC=C.从而aAbC&ZAHC.注由此例及例7可知，如果两个三角形有两条边对应相等，再加上一条中线或一条角平分线