第十九二十讲 导数问题中的隐零点极值点一二教师版公开课教案教学设计课件资料.docx

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1、第十九讲导数问题中的隐零点与极值点（一）导数零点无法求出时，可根据零点存在定理判断零点数量与范围利用零点满足的方程，化简目标函数或要证的不等式导数零点（极值点）是二次方程的两根，可利用韦达定理减少目标函数或不等式中的变量*注意（1）消参选择，（2）变量范围（例1,练习）*注意方程的化简！利用指数对数方程的同型特征，例如xex=-nx,-Inx+X=-Iny+y（例3）XXy例1（2019西湖区校级模拟）设函数f（x）=Y+防（1+乃有两个极值点%，Xi且（1）求。的取值范围，并讨论.（x）的单调性.（2）证明：/（2）上2回.4【分析】（1）求出函数的导数，根据函数的极值点的个数求出。的范围，

2、从而求出函数的单调区间即可；（2）求出/（x2）=2-ir2（i+2）In（1+2）,设函数g（Q-2t（1+/）In（1+r）,根据函数的单调性证明即2可.【解答】解：（1）由题意知，函数f（x）的定义域是x-1,f（X）=2x2x+a,且/（%）=O有两个不同的实数根为，x2,x+1故2x2+2x+=0的判别式A=4-80,即以工，且R=二M=TW1红,222又加-1,故。0,因此的取值范围是（0,A）,2当X变化时/（x）与/（X）的变化情况如下表：X(-1,XI)X1（XI，X2）X2(X2+8)f(X)+O-O+/(x)递增极大值递减极小值递增因此/（x）在区间（-1,内）和（X2,

3、+）是增函数，在（XI,小）上是减函数.（2）由题意和知，-工Vx2VO,O=-2X2（1+X2），2于是/（应）=2-2x2（1+X2）In（1+%2），2设函数g（/）=Z2-2/（1+r）In（1+，），则g,（/）=-2（1+2）In（1+z）,当r=-Ji时，g，（Q=0,2当任(-工，0)时，g,(r)0,故g(r)在-，0)上是增函数.22于是，当(-1,O),g(/)g(-上)=121n2,224因此/(X2)=g(X2)1-21n2【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，是一道中档题.例2(2023春花山区校级月考)己知函数/(x)=xnr,

4、g(x)=x2-x.(1)求证/(%)WgQ),对x0恒成立.(2)若kwZ,不等式攵(X-I)V/(x)+x,在x(1,+)恒成立，求女的最大值.【分析】(1)令力()=Zzu-x+1(x0),求出函数的导数，根据函数的单调性证明结论成立即可；(2)问题转化为k0),则k(X)J-1，X由h(X)=一1Qf号01,由h(X)=-T1XX(X)在(O,1)上单调递增，在(1,+)上单调递减，*.h(x)(1)=0,.*.wxx-1,因此XMXWA2-X,即/(x)Wg(x),对0恒成立.(2)由Z(X-I)1),得fD则p(X)=(2+1nx)(X-I)-(X+x1nx)x-2-1nx(X-I

5、)2令t(X)=x-2-Inxt则J(X)=I一1o，t(x)在(1,+)上单调递增,X又I(3)0,故ro(3,4),使/(xo)=0,：.P(X)在(1,Xo)上单调递减，在(刈，+o)上单调递增，：P(X)最小为P(XC1)=O+xO1nxOx0+x0(x0-2)/最大为3练习1.(2023春南京期末)(练习)已知函数/(幻=/一加+1(40).X(1)若/*)是单调函数，求。的取值范围；(2)若/(x)有两个极值点,2,证明：/(x1)+(x2)3-2w2.【分析】(1)利用导数符号与函数单调性的关系分“A=I-40)，f(x)=2-2+=(2-+a),方程？一彳+=0的判别式XX=1

6、-4,当=1-440且。0,即a?小时，4此时2r+00在(0,+8)上恒成立，即/(X)0在(0,+8)上恒成立，故/(x)在(O,+)上单调递增；当A=I-440且。0,即oao,解得o正豆或正逅：令/U)0,解得上正豆上必运，2222所以/(x)在(0,上年豆)上单调递增，在(上年豆，上哼豆)上单调递减，在(上哼豆，+)上单调递增.综上所述，当a4时，/(“)在(0,+8)上单调递增；当oa0所以丁,解得oa=1,xx,4141Qof(x1)+f(x2)=x1-2x1+2a1nX1+x2-2x2+2a1nx2,=(x1+x2)22x1x2-2(x1+x2)+2a1n(xX2)=2a1na

7、-2a-r令g(X)=Ix1nx-2x-1,g,(x)=2(+1nx)-2=21nx,S0,gf()g弓)=-52等I是2a1na-2a-1Tn2-W即f(x1)+f(x2)-1n2-练习2.(2023秋诸暨市期末)已知函数f(x)=vv-1nfa0.(/)若4=1,记f(X)的最小值为加，求证：72+”2.3(II)方程/(X)=ax+b,8R有两个不同的实根11，%2，且r+%2=2,求证：xX20),利用导数求其最小值m,再由函数的单调性证明结论；(2)由题意设OVX1VX2，力=q+”&q,f2=02+/2，问题转化为证明f+f20),即证次-2ew+1n2en,设/?()=0-2d+

8、1-nn,再由导数研究其单调性,即可证明心241岛【解答】证明：(1)当。=1时，/(x)=x-如G(X0),f，(x)=(x+1)ex.,X令g(x)=(+)/二，则g(x)=(x+2)ex-0得g(%)在(0，+o)上单调递增，11又g4e3-3Vo,g-e2-230号,得)，使得g(xfj)=(xo+1)e0,当x(0,X0)时，g(X)VO,即/(X)0,即/(X)fg)卷+1n2；(2);方程/(x)=ax+b,bR有两个不同的实根如且x+2=2,/.设OVjqVjQ,由OXeaX-InX=ax+b,得eax1nax=1nax+ax+bTnci,设/=t+”t,则有et=t+b-In

9、a存在两个不相等的实根力，使得A=+加办|，t2ax2+1nax2,可得力+2=(xi+%2)+21na+1nxX2=2a+21na+1nxxI要证X1X0-CIC，只要证：1nx2-21na-2a,也就是证a+/20),可得J+%-5干则e=一，/2=4一DDAJy=Sen-1en-1要证fh2/,n1n12设()=e2-2+1-2,则力，()=2en(en-n-1)2设()=en-n-1,贝J()=en-I,()=en-10,.()单调递增，可得,5)(O)=0,则()在(O,+)上单调递增，2(加)(0)=0,即Zf()=2en(en-n-1)0：.h()在(0,+8)上单调递增，则()

10、g(0)=0,BPe2n-2Z+1n.【点评】本题考查利用导数证明函数不等式，训练了利用导数求最值，考查逻辑思维能力与推理论证能力，综合性强，难度较大.第二十讲导数问题中的隐零点与极值点(二) 导数零点无法求出时，可根据零点存在定理判断零点数量与范围 利用零点满足的方程，化简目标函数或要证的不等式 导数零点(极值点)是二次方程的两根，可利用韦达定理减少目标函数或不等式中的变量，注意(1)消参选择，(2)变量范围(例1,练习) 留意零点方程的化简！利用指数对数方程的同型特征,例如X靖=-)nx,-nx+x=O(例3)例3.(2023秋浙江月考)已知函数/(x)=x1n-X-aER.2(I)当=今

11、时，证明：/(x)W0；e()若函数(x)=f(x)-(X-I)/+r2+x在(0,+8)上单调递减，求。的取值范围.9J【分析】(I)当a=/时，/(x)=X儿”尸2求导分析单调性，求出/(%)wwx0,即可得出答案.ee(II)根据题意可得(X)WO在(0,+8)上恒成立，即aWeX-1nx-1在(0,+)上恒成立，令P(外X=XeX-InX-1,在(0,+oo),只需(x)ZM加，即可得出答案.X2【解答】解：(I)证明：当时，f(x)=x1c-X-jr=x1nx-x-2O22e/eef(X)=1nx+x1-1-r=Inx-空，j22xee令g(X)=Inx-(x0),eg,(X)=-4=.xeex2所以在(0,上，g,(x)0,g(X)单调递增，2在(V+S上屋OVgG单调递减，e22222所以g(x)max=g(-)=In-=1n-I=Zw-0,22e222当XfO时，g(X)-oo;Xf+8时,g(X)-OO,2所以在（O,A_）上存在即，使得g（M）=0,p22x1在（f，+8）上存在X,使得g（XI）=0,即xi=,2e所以在（0,刈），（xi，+8）上，g（X）0,/（x）0,/（x）0,/（x）单调递增，由Xfo时，f（X）f0；%f+8时，f（）f8,22上的根,由方程。Ir=%在（3,+）上的根