2023-2024学年北师大版选择性必修第一册 第三章 1-2 空间两点间的距离公式 学案.docx

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1、1.2空间两点间的距离公式学习目标1r解推导空间两点间的距离公式的过程.2.会应用空间两点间的距离公式，求空间中两点间的距离.【导语】距离是几何中的基本度量，在平面解析几何中，已知P1a1，V）,P2（X2,2），线段P22的长度为7（X2总）2+32-yI）2,那么在空间直角坐标系中，若P1（X1，,Z1）,2（必力，Z2）线段P1P2的长度与其坐标又有怎样的关系呢？一、空间两点间的距离公式问题1在空间直角坐标系中，点0（0,0,0）到点尸（40,比，的距离怎么求？提示如图，op=2+c2+o2,IOAI=EI,QBI=IyoI,QC1=ZI,贝IJ1OP1=A+zS.问题2空间任意两点Aa

2、I,y,z）,8（X2,力，Z2）间的距离怎么求？提示如图，作长方体使A,8为其体对角线的顶点，长方体的棱都平行于坐标轴,由已知得，C(X2，X，Zi),。2，2，Zi),AB=Aq2+CZ)2+DB2,IAq=IX1刈，CD=J1-y2bDB=z1-z2b则A8=(xX2)2+6ji-)j2)2+(zZ2)2.【知识梳理】已知空间中P(-1,Ji，z),Qa2，2，Z2)两点，则P,Q两点间的距离为IPQ1=te-)2+(j2-,1)2+fe-21)2.注意点：(1)公式特征：同名坐标差的平方和的算术平方根.(2)在空间中，点P(x,y,Z)到坐标原点O的距离OP=/t2+y2+z2.(3)

3、+y2z2=1表示以原点为球心，半径为1的球的方程.例1如图，正方体D48C-OA,BC的棱长为0,AN=2CNfIBM=2MCI.求MN的长.解建立如图所示的空间直角坐标系,过点M作M/垂直于BC于点F,连接NE显然MF垂直于平面ABCDt所以MF1NF1因为IBM=2MC所以IBF1=2FQ,又IAN1=2CN,所以NF/AB,所以INH=IPQ=；|4阴=*同理IMF1=,CuI=冬因此，点N的坐标为停，y,0),点M的坐标为你”，竽),于是MV1=4(H)停一+(。+=季反思感悟在具体的立体几何图形中，需结合图形的特征，建立适当的坐标系，再利用空间两点间的距离公式求解.跟踪训练1如图所

4、示，在直三棱柱ABCC1中，IC1C1=IC阴=IeA1=2,AC1CB,DtE分别是棱月8,8G的中点，尸是AC的中点，求。E,E尸的长度.解以点C为坐标原点，CA,CB,CG所在直线分别为X轴、y轴、Z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.GQ=C8=C4=2,C(O,O,O),A(2,O,O),B(O,2,O),G(0,0,2),B1(0,2,2),由中点坐标公式可得，0(1,1,0),E(0,1,2),F(IAO),DE=(1-0)2+(1-1)2+(0-2)2=5,EF1=(0-1)2+(1-0)2+(2-0)2=6.二、求空间点的坐标例2设点尸在“轴上，它到点P(0,2,3)的距离是到

5、点P2(O,1,T)的距离的2倍，求点P的坐标.解因为点P在X轴上，所以设点P坐标为a。)，因为IPP1I=2PP2,所以、(X-O)2+(0-5)2+(03)2=2(X-O)2+(0-1)2+(0+1)2解得x=1,所以点P的坐标为(IQO)或(一1,0,0).反思感悟由空间两点间距离求点的坐标的方法若已知点到定点的距离以及点在特殊位置，则可直接设出该点坐标，利用待定系数法求解点的坐标.(2)若已知一点到两个定点的距离之间的关系，以及其他的一些条件，则可以列出关于点的坐标的方程进行求解.跟踪训练2已知点B,Pz的坐标分别为(3,1,-1),(2,-2,-3),分别在x,y,z轴上取点A,B,

6、C,使它们与P,P2两点的距离相等，求A,B,。的坐标.解设Aa,0,0),B(0,y90)fC(0,0,z)t由HPII=IAP2I，得:-3)2+1+1=(x-2)2+4+9,所以=3,同理，由虎P11=IBP2,得)，=一1,3由IepI=ICP2,得Z=-Q所以A(-3,0,0),8(0,-1,0),C(0,0,一斗三、空间两点间距离公式的综合应用例3已知正方形A88,A8E尸的边长都是1,且平面ABCO_1平面ABE凡点M在AC上移动，点N在BF上移动,若ICMTBN=(0,:,AB,BC,BE两两垂直.过点M作MG_14&MH1BC,垂足分别为G,H,连接NG,易证NG_1AB.C

7、M=BN=a1：.CH=MH=IBG1=IGM=半4,，以B为原点、,以BA,BE,BC所在的直线分别为X轴、y轴、Z轴，建立如图所示的空间直角坐标系8xyz,(I)IMN=q普4一乎4+(0一乎)+(一乎40)=、层$+=1(_坐)2乌(2)由(1)得，当=乎时，IMN1最小，最小为坐，这时M,N恰好为AC,B尸的中点.反思感悟距离是几何中的基本度量问题,无论是在几何问题中,还是在实际问题中,都会涉及距离的问题,它的命题方向往往有三个：(1)求空间任意两点间的距离；(2)判断几何图形的形状；(3)利用距离公式求最值.跟踪训练3在空间直角坐标系中，已知A(3,0,1)和8(1,0,-3),(1

8、)在y轴上是否存在点M,满足M=MB?(2)在)，轴上是否存在点M使ANAB为等边三角形?若存在，试求出点N的坐标.解(1)假设在y轴上存在点M,满足M4=M8.因为点M在y轴上，所以可设M(0,乂0),由IMA1=IMB可得小可7R二声7二方，显然，此式对任意恒成立，所以在)，轴上存在点M,满足M=MB.(2)假设在y轴上存在点N,使aNAB为等边三角形，由(1)可知，WAI=WB1恒成立，所以只要WAI=IA阴，就可以使aNAB是等边三角形，设MO,V，0),因为WA1=(3-0)2+(0-卜)2+(1-0)2=10+y2,AB=(1-3)2(0-0)2+(-3-1)2=25,所以、IO+

9、,，2=25,解得y=T.故在y轴上存在点M使ANAB为等边三角形，且点N的坐标为(0,10,0)或(0,-1,0).-课堂小结1 .知识清单：(1)空间两点间的距离公式.(2)利用两点间距离公式求空间点的坐标.(3)距离中的最值问题.2 .方法归纳：函数法求最值.3 .常见误区：由于点的坐标寻找不正确，而导致距离求解错误.随堂演练1 .点P(1,2,小)到原点。的距离是()A.6B.6C.4D.2答案B解析IOp1=W+(6)2+(小)2=禅.2 .已知点4(乂1,2)和点仅2,3,4),且HB1=2褒，则实数X的值是()A.-2B.6C.-2或6D.4答案C解析由空间两点间的距离公式得(x-2)2+(1-3)2+(2-4)2=26.解得x=6或4=2.3 .如图，在空间直角坐标系中，有一棱长为。的正方体ABCz)AB,C,D,则AC的中点E与4B的中点尸的距离为.答案与解析由题意知A(,0,),C(0,f1,O),A(,O,O),B(a,0,0),则点E坐标为，19，点尸坐标为(,右0),所以ei=y+(p+弓=冬4 .已知点A。，a,-5),BQa,-7,-2),则A8的最小值为答案36解析由题意得H8=(2a-1)2+(-7-)2+(-2+5)2=5(tz+1)2+54.当。=一1时，IAB1的值最小，最小值为用=3#.,容易求出它的面积为1